Consideraciones sobre elucidaciones y la tesis de Hilbert enviado por Diego Casera / caseradiego@gmail.com
Este trabajo tiene como objetivo plantear la cuestión de las elucidaciones matemáticas, abordando asimismo tanto la tesis de Hilbert como algunos de las líneas argumentales que se han desarrollado en su apoyo.

1. INTRODUCCIÓN: acerca de la elucidación.

La noción de elucidación es una noción que posee una rica historia en la filosofía, y se refiere a un proceso de clarificación o de esclarecimiento, un proceso que consta de “echar luz sobre…”. Se trata de una relación entre dos conceptos, en dónde uno clarifica al otro a través de un proceso elucidatorio. Este tipo de relación tiene lugar en diversos campos del conocimiento, como por ejemplo en la filosofía y también en la matemática.

En matemática, el mecanismo de justificación de los teoremas es la demostración. Un modo de analizar el enunciado del teorema, es pensar que relaciona dos conceptos y el punto va a estar en los conceptos que son relacionados. En la versión tradicional, en el caso de los teoremas se justifican a través de ese mecanismo de justificación que es la demostración, que opera entre conceptos formales.

Lo antedicho contrasta, desde el punto de vista tradicional, con lo que ocurre al considerar a las tesis, ya que no se las considera justificables vía demostraciones. Esto es de esa manera porque ellas relacionan un cierto concepto pre-formal o informal con uno formal, y por eso no pueden demostrarse, porque el concepto pre-formal escapa a la formalización. Las tesis son las que se proponen como resultado de los procesos elucidatorios; podemos aseverar escuetamente que cuando uno se propone una elucidación, lo que se propone es mostrar o aseverar una tesis.

La práctica matemática no está compuesta exclusivamente de teoremas, sino que en ella tiene lugar una interacción entre los teoremas y las tesis, que juega un papel central. Es interesante pensar esta cuestión no como si se tratase de dos mundos incomunicados entre sí (el de las tesis y el de los teoremas) sino como dos mundos que son interactivos, como un diálogo que vale la pena explorar.

Sin caer en simplificaciones excesivas, podemos decir que la noción tradicional tendía a tener una posición desequilibrada en este tema, caracterizando negativamente las tesis (es decir, expresando aquello que ellas no son), que se volvían dependientes de la noción de demostración, habiendo una especie de privilegio de los teoremas y un cierto descuido de las tesis.

La idea de formalizar es una idea de los siglos XIX y XX, es decir, algo bastante novedoso. Previo al surgimiento de dicha idea, existían muchos procesos de clarificación que perfectamente merecerían el nombre de “elucidación”, pero si uno se limita al contraste formal / pre-formal, no lograría captar esos procesos de clarificación. (y ciertamente no sería sensato poner en duda la calidad de matemático que tenía Euclides, por ejemplo, por el hecho de no haber llevado adelante procesos de formalización).

De forma escueta se puede decir que existen conceptos matemáticamente valiosos que respetan los criterios de rigor de un contexto histórico determinado y hay conceptos matemáticamente valiosos que no los respetan. En ese sentido, podemos entender el concepto pre-teórico como un concepto matemáticamente valioso que no respeta el criterio de rigor de cierto contexto histórico.

En la visión tradicional como fuera dicho, elucidar es formalizar, pero elucidar es (considerado en un sentido más amplio) rigorizar, y los esfuerzos de rigorización son ciertamente anteriores a la noción de formalización.

Como fuera dicho líneas atrás, considerando el concepto de elucidación matemática entonces, todo proceso elucidatorio consta de un concepto elucidado y un concepto elucidador. Es decir, se va desde un cierto concepto que resulta valioso desde el punto de vista matemático pero que es insatisfactorio desde el punto de vista del rigor en un contexto dado, hacia otro concepto que logra refinarlo y aclararlo pero preservando el núcleo valioso que había en él, que se codifica en ciertas condiciones que debe cumplir el concepto elucidado. En esas condiciones de adecuación pueden estar presentes no solamente el esfuerzo del análisis sino también otros requisitos teóricos.

El concepto pre-teórico y el concepto teórico no se encuentran en un mismo nivel epistémico, siendo el segundo más riguroso que el primero. Esa diferencia sin embargo, dependerá de los contextos específicos.

Cuando decimos “teórico” quiere decir en este caso que se trata de algo ajustado a cierto rigor de un contexto matemático. El concepto teórico tiene que “hacer justicia” el núcleo valioso del concepto pre-teórico, es decir, el hecho de que el concepto teórico sea epistémicamente superior al concepto pre-teórico no establece un vínculo material.

No basta con que el concepto teórico sea epistémicamente superior sino que tiene que mantener ese núcleo valioso presente en el concepto pre-teórico, es decir, que el concepto teórico tiene que cumplir respecto del concepto pre-teórico, dos condiciones: debe cumplir tanto con la condición epistémica (es decir, ser más riguroso) como también la condición sustantiva (es decir, respetar el núcleo matemáticamente valioso). Cómo se “captura” ese núcleo del concepto pre-teórico es un tema más complejo de abordar y desarrollar.

Entonces de acuerdo a lo expresado, el proceso elucidatorio se entiende como un proceso de carácter relacional. Eso quiere decir que para captar un proceso elucidatorio uno tiene que ser capaz de reconstruir esa relación entre los conceptos.

Como ya se mencionó, históricamente la contraposición entre concepto menos riguroso y la propuesta de un concepto más riguroso que intenta superarlo, es un contraste que se da en la matemática más allá del contraste presente entre conceptos formales y conceptos informales.

La elucidación se fundamenta en una justificación racional de la tesis. El hecho de que pueda sostenerse que no existe demostración no quiere decir que uno sostenga que la relación no está racionalmente justificada. La justificación de la tesis es racional aunque no tome la forma de una demostración (por ejemplo: se pueden dar buenas razones para pensar que ser Turing-computable es lo mismo que ser computable, aunque no se tenga una demostración de que una captura a la otra). Uno puede justificar racionalmente la tesis de todos modos, y esa justificación puede tener estilos o talantes argumentales bien distintos (pudiendo ser más inductivos o más deductivos).

La justificación elucidatoria se caracteriza entonces por dos momentos: el primero implica justificar que uno de los conceptos es una mejor alternativa que el otro por ser más riguroso, cumpliéndose de ese modo la condición epistémica. El segundo momento implica hacer evidente el cumplimiento de la condición sustantiva. Sobre esto, expresa el Profesor José Seoane que

“Este último tramo de la justificación resulta informado por el ideal o modelo elucidatorio referido en 3. En general, la estructura justificacional sugiere dos estrategias críticas muy netas: aquella que apunta a debilidades en la satisfacción de la exigencia epistémica y aquella que apunta al fracaso en el cumplimiento de la exigencia sustantiva.” (2017; Pág. 7)


Ante un caso en el que la condición epistémica no funciona (es decir, que no es más riguroso) y lo único que se tiene es la condición sustantiva, la elucidación no funciona. Sin embargo, el fracaso de una propuesta de contrapartida superior epistémicamente no implica volver a cero, porque en el proceso pueden darse logros, avances.

Las tesis y sus justificaciones pueden ser discutidas racionalmente pudiendo ser tanto aceptadas como rechazadas.

La justificación de las elucidaciones entonces, a pesar de no ser demostraciones no son de ninguna manera carentes de estructura, y la estructura más inmediata que tienen que respetar son los pasos o momentos mencionados. Para decir que un cierto concepto teórico es una buena contrapartida elucidatoria de un cierto concepto pre-teórico, deben cumplirse las dos condiciones antemencionadas.

Este modo de justificar los procesos elucidatorios sirve o fundamenta la justificación de lo que en este contexto específico llamamos tesis, que son precisamente las afirmaciones que establecen que un cierto concepto teórico constituye una contrapartida elucidatoria aceptable de un cierto concepto pre-teórico.

Es razonable pensar que la respuesta a la pregunta sobre si es posible elucidar el concepto de demostraciones informales y cómo hacerlo, tenga la forma de una tesis. Tenemos el concepto intuitivo de demostración, y lo que nos falta es cuál es la contrapartida teórica para ese concepto intuitivo de demostración. La respuesta a la pregunta por la elucidación en este caso tiene la forma de una tesis.

En ese sentido, el candidato más atractivo que aparece para ocupar el lugar del concepto teórico, es la noción de demostración de derivación en un sistema formal.

Lon Berk (en su trabajo que desde el punto de vista de su fidelidad histórica es complicado de evaluar) propone en su estudio sobre la tesis de Hilbert, algo que podríamos plantear como respuesta a la pregunta sobre la posibilidad de elucidaren concepto de demostraciones informales. El esfuerzo por reconstruir un camino en la historia del pensamiento que desemboque en la tesis de Hilbert y que nos revele pasos distintos de aproximación al tema, es muy valioso para ayudar a entender un poco mejor dicha tesis. Los aspectos mencionados para las tesis en general, deberían valer también para la tesis de Hilbert en particular.

2. Acerca de la Tesis de Hilbert:

Berk sostiene que en verdad la tesis de Hilbert es el resultado de un proceso que se dio a lo largo de la historia, de distintas tesis que se van “sumando” para desembocar finalmente en la Tesis de Hilbert.

Comienza la historia con la Tesis de Leibniz, que según expresa Berk, implica que todo argumento aceptable de la matemática informal es una demostración y que toda demostración informal puede formalizarse (en sentido de traducirse) con una derivación.

No está de más aclarar, que si bien Leibniz no tenía un lenguaje formal en el sentido que nosotros podemos manejar contemporáneamente, parece querer decirse que Leibniz ya tenía la idea de que todo argumento es formalizable.

El segundo paso tiene que ver con la visión de Gottlob Frege, quien parte de la base de que la Tesis de Leibniz es verdadera, y que además existe un lenguaje formal así como un conjunto de reglas de inferencia que pueden ser utilizadas para realizar una adecuada formalización de las demostraciones informales.

En el tercer paso que da Berk, se establece que Hilbert por su parte, toma como base el hecho de que la Tesis de Frege es verdadera, y el lenguaje formal es el lenguaje de primer orden. Toda demostración matemática informal puede traducirse a primer orden, es decir, que si existe una demostración informal matemática entonces hay una contrapartida en primer orden de esa demostración, vale decir, una “traducción” a primer orden de esa demostración.

La noción informal de “demostrable”, la noción de demostración intuitiva, es hecha precisa (rigorizada) por la noción de “demostrable” en primer orden. Si hay una demostración informal entonces hay una demostración de primer orden.

Según Seoane, uno podría leer la tesis de Hilbert al menos de dos modos diferentes (uno más débil y uno más fuerte): en uno de esos modos se puede decir que lo que se preserva es la “demostrabilidad”, es decir, que si φ es demostrable a partir de Γ, entonces φ’ es demostrable a partir de Γ’; la demostrabilidad está preservada pero la estructura de la demostración no lo está.

El otro modo de leer la tesis tiene que ver con que haya preservación no solamente de demostrabilidad sino también de la estructura de la demostración.

3. Argumentos justificatorios de la Tesis de Hilbert (Boolos, Burgess y Jeffrey):

En la óptica de Boolos, Burgess y Jeffrey, el lenguaje de primer orden ha demostrado su capacidad para “traducir” la demostración informal. Según hemos visto, los lógicos no han mostrado ninguna demostración informal que no sea susceptible de ser tratada en primer orden. Si bien es cierto que esto no constituye una demostración, trabajaría inductivamente a favor de la tesis de Hilbert.

El primer argumento es más bien uno de tipo inductivo, si bien no se trata de inducción propiamente dicha. Se ha probado con lenguajes de primer orden y no apareció ningún obstáculo, ninguna demostración informal que se haya revelado contraria a la formalización en primer orden, lo que parece indicar que la herramienta resulta eficiente. Claro está que la tesis de Hilbert apunta a que toda demostración matemática es formalizable en primer orden y eso es una idea muy fuerte, pero este primer argumento aporta cierta evidencia en respaldo de dicha tesis.

El segundo argumento se apoya en resultados matemáticos, en los que tenemos sistemas formales construidos con el objetivo de capturar la noción de demostración, y la posibilidad de demostrar la equivalencia entre distintos sistemas formales. Considerando este argumento, una especie de coincidencia entre sistemas formales parece brindar un respaldo a favor de la idea de que tales sistemas no capturan sino una suerte de núcleo compartido. Si los sistemas formales que fueron construidos independientemente en pos de capturar una cierta idea coinciden, parece esto señalar que han tenido éxito en lograr aquello para lo que fueron construidos.

Es entonces que mientras que la primera línea argumental aparece enfocada desde el punto de vista extensional, la segunda línea argumental es más bien de tipo intensional, porque plantea que si hay diversos sistemas que se han propuesto con el mismo objetivo (de captar lo mismo) coinciden, o bien la coincidencia es algo que podría calificarse como un hecho “milagroso” o bien efectivamente lograron captar aquello que tenían que captar (a saber, el corazón del concepto intuitivo). Se da entonces un resultado de convergencia que aparece como respaldo a la tesis.

No está de más señalar que no se trata en ninguno de los casos, de argumentos que sean plenamente concluyentes, pero sin dudas le otorgan cierta plausibilidad o verosimilitud a la tesis. Es de destacar que los argumentos se apoyan mutua y solidariamente para sustentar la fortaleza de la tesis, no operan en solitario sino que lo hacen como si fuesen nodos en una red.

En ese sentido, Seoane plantea que es bastante común como patrón general de las tesis, que estas sean respaldadas por baterías de argumentos que trabajan entre ellos de manera solidaria, apoyando la posibilidad de la tesis.

Finalmente el tercer argumento planteado parece estar más cerca de lo deductivo, que se podría pensar posee una estructura que permitiría una conclusión más fuerte, más poderosa. La tercera línea argumental es planteada como de un grado mayor a las dos anteriores, optando por la interpretación de la tesis que hace hincapié en la “demostrabilidad” y no en la demostración.

Si se plantea el argumento de Boolos, Burgess y Jeffrey en sus distintas partes (argumento que si se toma literalmente tal cual está formulado no funciona):

“Convengamos en denotar la relación de demostrabilidad informal a través de “|→”, la relación de consecuencia semántica informal a través de “|~”;‘|−’ y ‘|=’ denotan, como es habitual, las relaciones de consecuencia teórico-demostrativa y de consecuencia teórico-modélica, respectivamente

Axi |→ ϕ suposición

Si Axi |→ ϕ entonces Axi |~ ϕ asunción de corrección informal

Si Axi |= ϕ entonces Axi |− ϕ teorema de completud


Axi |− ϕ ¿por lógica?

Salvo mejor opinión, esta secuencia recoge literalmente los “pasos” de la justificación anterior.” (Seoane, 2017; pág. 18)


En la versión original planteada por Boolos, Burgess y Jeffrey se produce un hiato entre la noción intuitiva y la noción técnica, salvo que se exprese que la noción técnica y la noción intuitiva son la misma cosa, o mejor dicho, que la noción técnica elucida bien (es decir, que capta correctamente) la noción intuitiva. La solución parece estar en asumir la lectura tradicional del teorema de completud, y eso es lo que Seoane sostiene hacen Boolos, Burgess y Jeffrey, pero sin explicitarlo ya que es el modo en el que habitualmente se entiende el teorema de completud. Las tesis son las que hacen el puente entre el plano formal y el plano informal, cerrando el hiato.


De lo detallado anteriormente, vemos que si uno tiene consecuencia informal entonces uno tiene consecuencia formal. El sistema de axiomas es matemáticamente correcto, hay una suposición de corrección formal.

Se parte de la noción intuitiva de que ϕ es consecuencia de los axiomas, asumiendo que los mecanismos de deducción informal están correctos, quiere decir que si los axiomas son verdaderos ϕ es verdadero. Si hay consecuencia sintáctica informal hay consecuencia semántica informal.

El teorema de completud dice que siempre que Γ es verdadero ϕ es verdadero, entonces hay una demostración de eso y esa demostración es una demostración puramente sintáctica, cosa que si es observada de manera desprejuiciada es algo que resulta sumamente interesante, porque de cierta manera se reduce la relación de la trasmisión necesaria de verdad (que parece ser una noción manifiestamente semántica y sofisticada) a una noción más manipulable, sintáctica.

Pensando en el teorema de completud y en lo que él trae aparejado, puede observarse que existe un privilegio de la noción técnica de consecuencia teórico-modélica por encima de la noción técnica de consecuencia teórico-demostrativa.

Es de tener en cuenta que el teorema de completud se llama de esa manera en virtud del convencimiento de que la noción técnica teórico-modelica capta la noción intuitiva de transmisión necesaria de la verdad, y como eso ocurre, se juzga la noción técnica de consecuencia teórico-demostrativa como comportándose bien respecto de la noción teórico-modélica. Si algo es consecuencia lógica en sentido intuitivo de los axiomas, entonces es consecuencia teórico-modélica de los axiomas.

En el caso planteado en los pasos desglosados anteriormente, la lectura del teorema de completud no pasa meramente por la lectura del resultado matemático, sino que de la combinación del resultado matemático más la tesis de Tarski, es entonces que se da la lectura estándar del teorema de completud, como una especie de asociación entre un resultado matemático y una tesis.

Reflexionando sobre lo antedicho, podemos considerar que en la versión original presentada por Boolos, Burgess y Jefrey, estaba desconectada la noción intuitiva de la noción formal, y para usar el teorema de completud es necesario relacionar la noción intuitiva con la noción formal. Supongo que tengo una demostración intuitiva de ϕ a partir de los axiomas, entonces digo que ϕ es consecuencia semántica de los axiomas en el sentido intuitivo, pero para aplicar el teorema de completud el problema es que se trata de la noción técnica de consecuencia semántica (no de la noción intuitiva).

Es una vez que el teorema de completud se encuentra sobre la mesa, que se produce el tercer argumento de respaldo, aunque tampoco es planteado por los autores como si se tratase de un argumento final o definitivo, sino que simplemente como un argumento que es bueno, sólido, robusto.

Boolos, Burgess y Jeffrey dejan a entrever que una dosis importante de evidencia fue identificada para la tesis (como fuera planteado en las dos primeras líneas argumentales mencionadas ut-supra), no plantea que la tesis fue justificada plenamente sino que hay cierta dosis de evidencia que la respalda.

Todo esto respalda la idea esgrimida por Seoane (y mencionada ut-supra) de los argumentos trabajando cooperativamente en forma de red, no descartándose alguno de ellos en desmedro de otros sino que funcionando como nodos que sustentan una red de respaldo argumental. Los argumentos se diferencian entre sí por su grado de fortaleza, pero en ningún caso trabajan solos.

Seoane por su parte reconstruye el argumento de la siguiente manera:

“…la reconstrucción que propondremos, aunque permite ofrecer una trama argumental perfectamente inteligible, evidencia la debilidad del argumento. La reconstrucción es la siguiente:

Axi |→ ϕ suposición

Si Axi |→ ϕ entonces Axi |~ ϕ asunción de corrección informal

Si Axi | ϕ entonces Axi’ |= ϕ’ ¡tesis de Tarski!

Si Axi’ |~ ϕ’ entonces Axi’ |− ϕ’ teorema de completud


Axi |− ϕ por lógica” (2017, pág. 19)



El argumento planteado por Boolos, Burgess y Jeffrey aparece como dependiente de la confianza en la capacidad expresiva del lenguaje formal, y también está supuesto en su argumento, que todo lo que puede decirse en lenguaje informal (desde el punto de vista matemático) puede ser perfectamente captable en el lenguaje formal. Depende de la tesis de Tarski (Si Axi |∼ φ entonces Axi’ |= φ’, planteada en la reconstrucción del argumento que realiza Seoane) y de esa especie de fiabilidad en el poder expresivo del lenguaje de primer orden.

La supuesta defensa de la tesis de Hilbert en realidad depende de la tesis de Tarski. Depender de la tesis de Tarski es depender de una tesis débil, vulnerable (que ha recibido críticas muy intensas en los últimos años).

4- Algunas breves conclusiones.

Todos los conceptos que son elucidados de un modo consensualmente exitoso desaparecen, el elucidador sustituye al elucidado, eliminando las nociones originadas en el elucidado. En cierto sentido las elucidaciones exitosas tienen por efecto hacer desaparecer el concepto elucidado, dejando sólo el elucidador, ya que este último aclaró y rigorizó todo lo valioso presente en aquel. Esa especie de sustitución aparece comúnmente en la historia de los procesos elucidatorios.

Un punto importante a tener en cuenta es si el concepto elucidador ha logrado captar todo lo valioso presente en el concepto elucidado. Las críticas a las tesis de Hilbert podrían provenir de esa disonancia, apuntando a que tal vez algunos aspectos, algunas propiedades a tener en cuenta, no son perfectamente captadas en el proceso elucidatorio.

La consideración de dicha tesis permite contribuir y mucho con el estudio de los procesos elucidatorios, para pensarlos desde el punto de vista histórico y también desde el punto de vista metodológico. En ese sentido, es importante tener presente que “…comprender un proceso elucidatorio supone una atención cuidadosa a la estructura de la tesis (es decir, explicandum, explicatum y modalidad relacional pretendida entre ambos) así como a las estrategias justificacionales orientadas a respaldarla. Como el lector advierte, ambos aspectos poseen una estrecha solidaridad y develarla suele resultar sorprendentemente revelador de la lógica de estos procesos.” (Seoane, 2017; pág. 25)

Una forma de presentarse las críticas elucidatorias, consiste en mostrar la relativa infidelidad del concepto elucidador respecto del concepto elucidado, o la divergencia entre ambos conceptos.

Referencias bibliográficas:

BERK, Lon A. 1977. Hilbert’s thesis: some considerations about formalizations in mathematics. Washington University.

BOOLOS, George y otros. 2007. Computability and Logic, Fifth Edition, Cambridge University

Chateaubriand, O. 2005. Logical Forms, Part II, Universidade de Campinas, Colecão CLE, vol. 42

SEOANE, José. 2017. No sólo de demostración vive la matemática.

SEOANE, José. Lógica y argumento. UDELAR

SEOANE, José. 2003. The concept of mathematical elucidation: theory and problems